對(duì)工業(yè)界過(guò)程控制有時(shí)使用的以積分為主導(dǎo)控制作用的做法啰唆幾句。
在學(xué)術(shù)上，控制的穩(wěn)定性基本就是漸進(jìn)穩(wěn)定性，BIBO穩(wěn)定性是沒(méi)有辦法證明漸進(jìn)穩(wěn)定性時(shí)的“退而求其次”的東西，不怎么上臺(tái)面的。但是工業(yè)界里的穩(wěn)定性有兩個(gè)看起來(lái)相似、實(shí)質(zhì)上不盡相同的方面：一個(gè)當(dāng)然是漸進(jìn)穩(wěn)定性，不光逐漸穩(wěn)定下來(lái)，而且向設(shè)定值收斂；另一個(gè)則是穩(wěn)定性，但不一定向設(shè)定值收斂，或者說(shuō)穩(wěn)定性比收斂性優(yōu)先這樣一個(gè)情況。后者的情況就是需要PID控制系統(tǒng)穩(wěn)定在還算靠譜的位置就可以了，多少接近設(shè)定值就行，要緊的是不要?jiǎng)觼?lái)動(dòng)去，是不是正好在設(shè)定值反而并不是太重要。這樣的例子有很多，比如反應(yīng)器的壓力是一個(gè)重要參數(shù)，反應(yīng)器壓力不穩(wěn)定，進(jìn)料一會(huì)兒打得進(jìn)去，一會(huì)兒打不進(jìn)去，原料進(jìn)料比例就要亂套，催化劑進(jìn)料也不穩(wěn)定，反應(yīng)就不穩(wěn)定。但是反應(yīng)器的壓力到底是2MPa還是2.5MPa并沒(méi)有太大的關(guān)系，只要慢慢地但又穩(wěn)定地向設(shè)定值收斂就足夠了。這是PID控制理論里比較少涉及的一個(gè)情況，但這也是工業(yè)上時(shí)常采用積分主導(dǎo)的控制的一個(gè)重要原因。
系統(tǒng)的頻率就是系統(tǒng)響應(yīng)持續(xù)振蕩時(shí)的頻率，但是控制領(lǐng)域里有三撥人在倒騰：一撥是以機(jī)電類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為特色的電工出身，包括航空航天、火力控制、機(jī)器人等；一撥是以連續(xù)過(guò)程為特色的化工出身的，還包括冶金、造紙、化纖等；還有一撥是以微分方程穩(wěn)定性為特色的應(yīng)用數(shù)學(xué)出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里，各坐各的山頭，井水不犯河水，倒也太平。但控制從藝術(shù)上升為理論后，總有人喜歡“統(tǒng)一”各個(gè)山頭。在控制理論的三國(guó)大戰(zhàn)中，電工幫搶了先，好端端的控制理論里被塞進(jìn)了電工里的頻率。可是啊可是，這哪是頻率啊，這是......復(fù)頻率。既然那些“變態(tài)”的電工黨能折騰出虛功率來(lái)，那他們也能折騰出復(fù)頻率來(lái)。他們自虐倒也算了，只是苦了無(wú)辜之眾，從此被迫受此精神折磨。
事情的緣由是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。前面提到，PID參數(shù)如果設(shè)得不好，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。除了摸索，有沒(méi)有辦法從理論上計(jì)算出合適的PID參數(shù)呢？有的。動(dòng)態(tài)過(guò)程可以用微分方程描述，其實(shí)在PID的階段，這只是微分方程中很狹窄的一支：?jiǎn)巫兞慷ǔＯ禂?shù)線性常微分方程。要是還記得一點(diǎn)高數(shù)，一定還記得線性常微的解，除了分離變量法什么的，如果自變量時(shí)間用t表示的話，最常用的求解還是把eλt代入微分方程，然后解λ的代數(shù)方程(正式稱呼是特征方程)，解出來(lái)的就是特征根。這可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。是復(fù)數(shù)的話，微分方程的解就要用三角函數(shù)展開了(怎么樣，當(dāng)年噩夢(mèng)的感覺找回來(lái)一點(diǎn)沒(méi)有)。實(shí)數(shù)根整個(gè)都是實(shí)部。復(fù)數(shù)根可以分解為實(shí)部和虛部，只要所有特征根的實(shí)部為負(fù)，那微分方程就是穩(wěn)定的，因?yàn)樨?fù)的指數(shù)項(xiàng)最終隨時(shí)間向零收斂。虛部到底有多大就無(wú)所謂了，對(duì)穩(wěn)定性沒(méi)有影響，但對(duì)振蕩頻率有影響。但是，這么求解分析起來(lái)還是不容易，還是超不出“具體情況具體分析”，難以得出一般的結(jié)論。
如今法國(guó)排不進(jìn)第一世界了，再自豪的法國(guó)人都不敢自稱超級(jí)大國(guó)，但當(dāng)年法國(guó)人是很牛的，除了凡爾賽宮和法國(guó)大餐外，還有很多厲害的數(shù)學(xué)家。其中一個(gè)叫拉普拉斯的家伙，搗鼓出一個(gè)拉普拉斯變換，把常微分方程變成s的多項(xiàng)式。拉普拉斯變換是數(shù)學(xué)變換的一種，而數(shù)學(xué)變換是數(shù)學(xué)世界里一個(gè)十分精妙的游戲。還記得尼古拉斯·凱奇主演的電影《國(guó)家財(cái)富》嗎，淘寶人發(fā)現(xiàn)了一副奇妙的彩色偏振鏡片，用不同組合，可以在《獨(dú)立宣言》原稿背面看出不同的尋寶線索。這當(dāng)然是騙票房的東西，但數(shù)學(xué)變換好比這彩色偏振鏡片，從一個(gè)看似一堆混沌的東西里換一個(gè)角度去看，再換一個(gè)角度去看，可以看出很多奧妙來(lái)，尤其是結(jié)構(gòu)性的特征。用拉普拉斯變換處理常微分方程也是這個(gè)意思，可以從看似無(wú)從入手的常微分方程里，提出與穩(wěn)定性相關(guān)的特征信息來(lái)。對(duì)描述動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程施加拉普拉斯變換后，微分方程就變成了傳遞函數(shù)，這是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)。這里面的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)說(shuō)起來(lái)比較啰唆，還是留給嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕炭茣桑龝焹x表這里就不扯遠(yuǎn)了。
光拉普拉斯變換還不夠，往s里代入jω，就是那個(gè)復(fù)頻率，這就整出一個(gè)變態(tài)的頻率分析，用來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不過(guò)說(shuō)變態(tài)，也不完全公平，在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代，各種專用圖表是最有效的分析方法，還美其名曰“幾何分析”，頻率分析也不例外。美國(guó)人沃爾特·埃文斯(Walter Evans)在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，搞出一個(gè)根軌跡(Root Locus)分析方法，思路倒是蠻有意思的。給定傳遞函數(shù)后，開環(huán)系統(tǒng)(還記得開環(huán)、閉環(huán)嗎？開環(huán)就是沒(méi)有反饋的，閉環(huán)就是帶反饋的）的特征根是給定的，開環(huán)穩(wěn)定不穩(wěn)定就是它了。傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根為極點(diǎn)。閉環(huán)之后，增益為零的話，就退化為開環(huán)情況。在增益逐步增大的過(guò)程中，增益鎖定在每一個(gè)特定值時(shí)，都可以解出相應(yīng)的特征根(不管是實(shí)的還是虛的)，可以在復(fù)平面(也就是說(shuō)，縱軸為虛軸，橫軸為實(shí)軸)上標(biāo)出來(lái)。把不同增益下的特征根連接起來(lái)，就形成了根軌跡。
埃文斯還證明了有趣的一點(diǎn)：根軌跡必定從開環(huán)極點(diǎn)開始，以零點(diǎn)為終點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)正好為極點(diǎn)數(shù)，所以二階系統(tǒng)有兩條根軌跡，三階系統(tǒng)有三條根軌跡等。由于正常系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)總是少于極點(diǎn)數(shù)，“多出來(lái)”的根軌跡就以無(wú)窮大為終點(diǎn)。于是，最終形成的根軌跡好像從開環(huán)極點(diǎn)長(zhǎng)出來(lái)的樹杈，但像飛蛾撲火一樣向開環(huán)零點(diǎn)匯聚，“無(wú)家可歸”的根軌跡分支實(shí)在沒(méi)有地方可去，沒(méi)有零點(diǎn)作為歸宿，只好孤寂地向無(wú)窮的幽深散發(fā)。要是根軌跡總是在左半平面打轉(zhuǎn)，則說(shuō)明實(shí)根為負(fù)，就是穩(wěn)定的。再深究下去，系統(tǒng)響應(yīng)的臨界頻率之類也可以計(jì)算出來(lái)了。
根軌跡最大的好處是，對(duì)于常見的系統(tǒng)，可以給出一套做圖規(guī)則來(lái)，熟練的大牛、小牛、公牛、母牛們，對(duì)傳遞函數(shù)的形式用眼睛一瞄，隨手就可以畫出根軌跡來(lái)，然后就可以定性地告訴你，增益大概變化到多少，系統(tǒng)就要開始振蕩，再增加多少，系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定，云云。
根軌跡還是比較客氣的，還有更變態(tài)的奈奎斯特法、伯德法和尼科爾斯法，想想腦子都大了時(shí)至今日，計(jì)算機(jī)分析已經(jīng)很普及了，但是古典的圖示分析還是有經(jīng)久不衰的魅力，就是因?yàn)閳D形分析不光告訴你當(dāng)前系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，以及其他一些動(dòng)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)，還定性地告訴你增益變化甚至系統(tǒng)參數(shù)變化引起的閉環(huán)性能變化。在什么都用計(jì)算機(jī)先算一遍的今天，定性分析依然有特殊意義。定量分析好比是樹，可以精確地告訴你這里有一棵樹，有多高多粗多老，但只有定性分析才能揭示出林，告訴你這里有很多樹，而且這邊大多是小樹，大樹主要在那邊。定性分析指出大方向，這是數(shù)值計(jì)算正確性的概念保障。時(shí)至如今，不少人吃過(guò)盲目相信計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的苦頭，但要不盲目，靠什么呢？靠的就是對(duì)事物的定性認(rèn)識(shí)，包括對(duì)方向性、數(shù)量級(jí)的認(rèn)識(shí)。這些折磨腦子的圖形分析就是干這個(gè)用的(咦，剛才還不是在說(shuō)人家變態(tài)嗎？呃，變態(tài)也有變態(tài)的魅力不是？)。
作者：晨楓
