在一間寬敞的廚房里，各種廚具應(yīng)有盡有，當(dāng)然還要有一位技藝高超的大廚，桌上原本擺著土豆一個(gè)、茄子一根、青尖椒一根、大蒜三瓣、蔥一根、二兩食用油，醬油兩勺、淀粉一勺、鹽一勺，轉(zhuǎn)眼間所有食材和調(diào)料就被加工成一盤熱騰騰的美味地三鮮。如果把這些原材料看作是一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)的輸入，那道做好的地三鮮就是函數(shù)的輸出，大廚使用各種工具做菜的過程就是函數(shù)本身。

當(dāng)然函數(shù)有很多種，有的非常簡單，比如只是把兩個(gè)數(shù)加到一起，兩個(gè)輸入分別是2和3，輸出就是5，有的則非常復(fù)雜，比如預(yù)測(cè)全球氣候變化的復(fù)雜函數(shù)模型。函數(shù)輸入和輸出之間的反向關(guān)系也很微妙，如果端給你一盤地三鮮，你大概也一定能看出來里面有土豆，茄子和青椒，把“函數(shù)輸入”的原料說出個(gè)大概，也就是說這個(gè)函數(shù)從輸出到輸入是基本可逆的。當(dāng)然如果遇到的廚師是擁有祖?zhèn)髡{(diào)料秘方的幾十代傳人，完全恢復(fù)出輸入還真有點(diǎn)難度。但是對(duì)于求和的函數(shù)，告訴你輸出是5，猜測(cè)出輸入并不難，而且你會(huì)發(fā)現(xiàn)輸入有很多種可能性，不僅2和3可以，1和4可以，0和5也可以……。

但也有這樣的函數(shù)，告訴你輸出之后，獲得對(duì)應(yīng)的輸入是非常困難的，哪怕只是尋找到很多個(gè)正確答案的其中一個(gè)也很難，除非窮盡所有的輸入可能性進(jìn)行搜索。這樣的函數(shù)是有去無回的“單向車道”，相當(dāng)于是大廚會(huì)把熟悉的原料做成完全看不出本來面貌的超級(jí)黑暗料理，會(huì)產(chǎn)生不可逆的輸出結(jié)果。這樣的函數(shù)往往無法用一個(gè)簡單的方程直接表示出來，但是電腦上運(yùn)行一段代碼就可以表示從輸入到輸出的計(jì)算過程，正方向運(yùn)行的速度還是會(huì)很快，至少比做一盤菜要快很多。

單方向的函數(shù)并不容易設(shè)計(jì)出來，需要專門的數(shù)學(xué)原理，研究人員可是花了好多年才尋找到的，它們用途非常廣泛。

舉個(gè)例子，你一定面對(duì)面和別人玩過石頭剪子布，有沒有想過在電話里怎么玩？看不到對(duì)方還能玩嗎？如果你和對(duì)方在電話里輪流說要出什么，你先說了石頭，對(duì)方一定說布，對(duì)方先說了剪子，你一定說石頭，誰“占得后機(jī)”誰就會(huì)贏。當(dāng)然你可以和對(duì)方約定，我們都做個(gè)“不說謊話的誠實(shí)好孩子“，事先心里想好了出什么，到時(shí)候就不能變，聽到了對(duì)方出了什么之后也不能改。但是到底究竟誰說了真話，誰說了假話，又如何知道呢？

單向函數(shù)在這里就可以顯神通，比如石頭，剪子和布分別用數(shù)字1，2和3來表示，每個(gè)人把自己要出的手勢(shì)加上一段設(shè)定的隨機(jī)數(shù)字字母，比如1m94DxjHr5(表示出石頭)或者20nS5hs54Js(表示出剪子)，然后各自把自己的數(shù)字字母串輸入到單向函數(shù)，會(huì)得到各自不同的輸出結(jié)果，兩人玩的時(shí)候，先輪流說出自己的函數(shù)輸出結(jié)果作為一個(gè)”防偽標(biāo)簽“，由于從輸出無法看出輸入，也就無法根據(jù)對(duì)方的信息臨時(shí)改變主意，然后再輪流說出自己原本要出什么手勢(shì)以及自己設(shè)定的密碼是什么。如果懷疑有人為了取勝而作弊，可以當(dāng)場(chǎng)用函數(shù)驗(yàn)證聲稱的輸入是不是對(duì)應(yīng)預(yù)先說的輸出，這樣在電話里公平地玩石頭剪刀布就成為可能。

如果說電話里玩石頭剪子布只是多此一舉，那么大量網(wǎng)站既要驗(yàn)證用戶的權(quán)限又無需保存用戶的真正個(gè)人信息，區(qū)塊鏈數(shù)字貨幣中要保證只有真正挖到礦的使用者才能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，單向函數(shù)在這些實(shí)際應(yīng)用中可就發(fā)揮不可或缺的作用了。

而更多時(shí)候，我們面對(duì)的函數(shù)并不像上面所說的單向函數(shù)那么難以反方向還原。從輸出獲得輸入雖有些難度，但也不是不可能，不至于要超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)成千萬上億年才能實(shí)現(xiàn)的地步。使用身邊的一臺(tái)普通筆記本電腦就足夠勝任任務(wù)，只是計(jì)算時(shí)間上我們希望越快越好，能用一星期不用一個(gè)月，能用一小時(shí)不用一天，高效準(zhǔn)確是理想的目標(biāo)。

在光學(xué)器件設(shè)計(jì)中，有不少的任務(wù)就是這種類型，比如下面圖1中這種多層薄膜結(jié)構(gòu)，看起來像粵式早茶中的相鄰兩層深淺顏色不同的千層糕。千層糕里面紅白層分別加了紅糖和椰漿，而薄膜器件中則是二氧化硅和氮化硅兩種材料很多層交替疊在一起。雖然其中的每一層都非常薄(數(shù)十?dāng)?shù)百納米級(jí)別，比人的頭發(fā)絲直徑還要小)，但是每一層厚度怎樣設(shè)置，可“事關(guān)重大”。我們并不需要像千層糕那樣讓每一層薄厚均勻，看起來美觀，而是要優(yōu)化設(shè)計(jì)為適當(dāng)?shù)谋『?，比如可以第一層二氧化硅很厚，第二層氮化硅很薄，第三層二氧化硅又變厚……?/span>


圖1 二氧化硅和氮化硅材料交替的多層薄膜光學(xué)器件

當(dāng)一束光照射到這樣的多層薄膜結(jié)構(gòu)并從另外一側(cè)穿透后，不同頻率(波長)的部分透過率會(huì)不一樣，比如對(duì)于可見光，不同頻率就意味著紅綠藍(lán)不同顏色的光，最后透射率與頻率之間的關(guān)系會(huì)是一條曲線，而這一曲線正好與每一層薄膜厚度分布的密切相關(guān)。我們面對(duì)的函數(shù)輸入就是每層薄膜的厚度分布，輸出是對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的透射率頻譜分布，從輸入獲得輸出可以在電腦上通過物理仿真模擬比較容易實(shí)現(xiàn)，而反過來，給定了目標(biāo)的輸出，要獲得一組符合要求的目標(biāo)輸入，卻是一個(gè)“逆向設(shè)計(jì)“的困難任務(wù)。


圖2 多層薄膜光學(xué)器件的透過率頻譜分布曲線

在各種光學(xué)應(yīng)用中，我們會(huì)專門需要讓某些頻率的光透過，同時(shí)不讓另外一些頻率的光透過，事先會(huì)有一個(gè)像圖4那樣的目標(biāo)透射率頻譜分布曲線，我們的任務(wù)是利用函數(shù)尋找到對(duì)應(yīng)的輸入，也就是逆向設(shè)計(jì)出最佳“千層糕”的結(jié)構(gòu)。假設(shè)“千層糕”一共10層，每層的厚度有10種不同尺寸可選，隨機(jī)組合一下，最后可能的結(jié)構(gòu)就一共有多達(dá)100億種，雖然每次把其中任何一種結(jié)構(gòu)輸入給函數(shù)，都可以得到對(duì)應(yīng)的輸出曲線，但是逐一嘗試數(shù)量巨大的所有可能的輸入，“遍歷全搜索”看哪個(gè)輸出最接近目標(biāo)，是一種“愚公移山”式的低效笨拙方法。而計(jì)算機(jī)上有更智能的算法來幫助我們逆向設(shè)計(jì)尋找答案，像遺傳進(jìn)化算法和深度學(xué)習(xí)，可以用盡可能少的搜索次數(shù)獲得正確答案。

在達(dá)爾文的進(jìn)化論中，世界上各種生物能夠變成今天的樣子，是因?yàn)榛虻耐蛔円约碍h(huán)境的篩選，優(yōu)勝劣汰，適者生存，不適者被淘汰，而優(yōu)勝者的后代往往有更強(qiáng)的適應(yīng)力，經(jīng)過很多代的進(jìn)化之后，有些動(dòng)物從不會(huì)飛變得會(huì)飛，從笨手笨腳變得可以輕易藏身叢林中，從體型龐大變得輕盈快速，一切都是因?yàn)樯娴膲毫?。這表面看起來好像和我們要解決的問題“八竿子打不到一起”，但實(shí)際卻是“異曲同工”，對(duì)于進(jìn)化過程的模仿也成了反方向求解函數(shù)一件利器。

遺傳進(jìn)化算法把自然進(jìn)化的過程搬到了計(jì)算機(jī)上，可以用來解決光學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)的問題。假設(shè)每一種薄膜層厚度不同的分布而形成的結(jié)構(gòu)就看作是一只動(dòng)物個(gè)體，最開始先隨機(jī)生成相當(dāng)數(shù)量的不同個(gè)體，然后如上所說，我們用物理仿真函數(shù)，可以獲得每只動(dòng)物對(duì)應(yīng)的輸出，也就是透射率頻譜分布，它們中有的和設(shè)計(jì)目標(biāo)相對(duì)接近，獲得的適應(yīng)度分?jǐn)?shù)會(huì)高一些，另一些適應(yīng)度的分?jǐn)?shù)會(huì)低一些，這也預(yù)示著這群“動(dòng)物”的命運(yùn)，適應(yīng)者就有比較大幾率留下來，不適者就有比較大幾率被淘汰。然后我們還會(huì)讓分?jǐn)?shù)高的個(gè)體交配產(chǎn)生后代，當(dāng)然這里并沒有真的交配，只是讓兩個(gè)結(jié)構(gòu)的不同薄膜層厚度取一下中間數(shù)值，這樣產(chǎn)生的新結(jié)構(gòu)也意味著有可能產(chǎn)生更高的適應(yīng)度。除此之外，我們還會(huì)產(chǎn)生一些隨機(jī)變化，比如讓一個(gè)較好的結(jié)構(gòu)里面某一層突然變厚或者變薄，看適應(yīng)度會(huì)不會(huì)提升，以探索新的可能性。

事實(shí)上，以上的過程就像我們尋找美食一樣，一種方式是根據(jù)自己曾經(jīng)去過的喜愛的餐廳，繼續(xù)發(fā)掘菜單上沒有嘗試過的菜品，可以比較保險(xiǎn)地獲得滿意體驗(yàn)，但天花板上限也可見，另一種方式是去光顧沒去過的新餐廳，雖然有不確定踩雷的風(fēng)險(xiǎn)，但也許會(huì)有更好的發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)的策略就是將這兩種所謂的“局部搜索”和“全局搜索”相結(jié)合。遺傳進(jìn)化算法通過對(duì)大量個(gè)體的不斷篩選，交叉和突變，經(jīng)過一代又一代的進(jìn)化，最后搜索獲得的最優(yōu)結(jié)構(gòu)中不同薄膜層厚度的分布對(duì)應(yīng)的輸出曲線會(huì)與目標(biāo)非常接近，完成了所希望的器件設(shè)計(jì)任務(wù)。在整個(gè)尋找“最佳千層糕”的過程中，100億種可能的組合中也只有很少一部分被嘗試，遺傳進(jìn)化算法卻可以利用較少的搜索次數(shù)，智能高效率地給出一個(gè)不錯(cuò)的逆向設(shè)計(jì)結(jié)果。

而近年來流行的另外一種用于光學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)的智能算法則是深度學(xué)習(xí)，原本通過物理仿真函數(shù)，從輸入獲得輸出容易進(jìn)行，反過來則無法直接實(shí)現(xiàn)。不過這沒有關(guān)系，本著“世界上本沒有路,走的人多了,也便成了路“的精神，我們可以嘗試大量不同的輸入(當(dāng)然相比 100 億所有可能性還是一個(gè)小數(shù)目)，把從已知函數(shù)獲得的對(duì)應(yīng)輸出結(jié)果也都記錄下來。然后我們使用深度學(xué)習(xí)這樣一個(gè)模仿人類大腦神經(jīng)元連接的黑箱模型，對(duì)于從輸出到輸入的反向關(guān)系建立數(shù)據(jù)模型，用大量輸出和輸入對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)來訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，使得網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)具有最優(yōu)的數(shù)值，這樣一個(gè)訓(xùn)練好的人工智能模型也就具備了從給定輸出中推測(cè)輸入結(jié)構(gòu)的能力，也就是說給定一個(gè)所需的透過率頻譜分布曲線，深度學(xué)習(xí)的輸出就可以直接告訴你薄膜中每一層厚度應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)，也同樣比遍歷全搜索的方式聰明很多。


圖3 深度學(xué)習(xí)用于光學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)

實(shí)際中我們要設(shè)計(jì)的光學(xué)器件各式各樣，不只有像千層糕的，還有像巧克力方格，變形軟糖等多種結(jié)構(gòu)，有了各種逆向設(shè)計(jì)智能算法，它們就總能乖乖地按照預(yù)想的方式來與照射光你來我往。

作者簡介：
焦述銘，鵬城實(shí)驗(yàn)室助理研究員，香港城市大學(xué)電子工程博士，從事全息三維顯示算法，單像素成像，光學(xué)計(jì)算，圖像處理，信息安全，機(jī)器學(xué)習(xí)等研究，曾獲得香港特區(qū)政府Hong Kong PhD Fellowship Scheme和廣東省“珠江人才計(jì)劃”海外青年引進(jìn)計(jì)劃(博士后資助項(xiàng)目)。在Optics Letters, Optics Express, IEEE Transactions on Industrial Informatics, Engineering等期刊上以第一或通訊作者發(fā)表論文20余篇，獲得2020年國際顯示技術(shù)大會(huì)(ICDT 2020)優(yōu)秀論文獎(jiǎng)。擔(dān)任《應(yīng)用光學(xué)》和《液晶與顯示》期刊青年編委，中國光學(xué)學(xué)會(huì)全息與光信息處理專業(yè)委員會(huì)委員，中國圖像圖形學(xué)學(xué)會(huì)三維成像與顯示專業(yè)委員會(huì)委員，中國圖像圖形學(xué)學(xué)會(huì)三維視覺專業(yè)委員會(huì)委員。擔(dān)任中國科普作家協(xié)會(huì)會(huì)員，Light科普坊科學(xué)家顧問團(tuán)成員，曾在果殼網(wǎng)，科學(xué)大院，南方都市報(bào)，讀者原創(chuàng)版等網(wǎng)絡(luò)和平面媒體撰寫科普文章，2013年第六版《十萬個(gè)為什么》圖書數(shù)學(xué)分冊(cè)和電子信息分冊(cè)作者之一。