傅里葉級數(shù)就是這樣的一個例子。約瑟夫·傅里葉(Joseph Fourier)是一位19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家，他對熱如何在物體中流動很感興趣。他的第一個貢獻(xiàn)是現(xiàn)在稱為熱方程的公式，也是一個偏微分方程的例子，它描述了物體的溫度T如何隨時間t和空間x變化。用現(xiàn)代符號表示，熱方程如下：
其中k是物體的熱導(dǎo)率，這個數(shù)值衡量了物體傳導(dǎo)熱量的能力。
如果你能找到這個方程的解，它會告訴你物體在每個點(diǎn)x和時間t的溫度T(x，t)。
傅里葉的第一個非凡想法是，他可以通過將T(x，t)表示為簡單函數(shù)的和來解熱方程，然后用這些函數(shù)來找到解。就好比分塊砌磚蓋房子比一次性蓋房子要容易得多。
他的第二個非凡的想法在于他選擇了哪些函數(shù)來構(gòu)建溫度。他選擇了在三角學(xué)(研究三角形)中出現(xiàn)的正弦和余弦函數(shù)，因此他寫下了T的表達(dá)式：
這個和式是無窮的，
后的下一個項(xiàng)是
，后的再下一個是
，以此類推。其中a0(t)、a1(t)、a2(t)等等和b1(t)、b2(t)、b3(t)等等都是系數(shù)，其具體值取決于初始條件。這種表達(dá)式現(xiàn)在被稱為傅里葉級數(shù)。
乍一看，這種表示T的方法很不一般。畢竟，三角形和熱流之間可能有什么聯(lián)系呢? 然而，這正是解決上述熱方程的正確選擇。它使問題分解為一組更簡單的問題，每個問題都可以單獨(dú)解決，然后組合起來找到原問題的解。
事實(shí)上，在傅里葉最初的想法提出之后不久，人們發(fā)現(xiàn)用正弦和余弦來構(gòu)建函數(shù)也可以解決許多其他問題，包括描述波的運(yùn)動、氣體的行為、許多重力問題、電靜力學(xué)、電磁學(xué)、儀表，甚至股市行為的問題。
在傅里葉發(fā)現(xiàn)傅里葉級數(shù)之后，許多數(shù)學(xué)家開始致力于擴(kuò)展和推廣他的思想，并在此過程中發(fā)現(xiàn)了許多美妙的結(jié)果，包括一個巧妙的推導(dǎo)公式(最初由萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn))：
傅里葉級數(shù)及其在計算機(jī)上的離散推廣在現(xiàn)代技術(shù)中起著基礎(chǔ)性的作用。特別是我們用它們來合成和處理聲音、信息和圖像，音樂、電視、視頻產(chǎn)業(yè)和儀表領(lǐng)域的存在都離不開傅里葉級數(shù)。
