傅里葉級數(shù)和傅里葉變換背后的基本思想
傅里葉級數(shù)和傅里葉變換背后的直覺是相同的：任何函數(shù)都可以寫成正弦函數(shù)之和。
這個想法如此簡單，卻又極其深刻。在高中課程中大家了解了余弦和正弦，它們將直角三角形的角度與兩條邊長之比聯(lián)系起來。另一種理解方式是，余弦和正弦分別是繞單位圓移動的點的x坐標和y坐標。它們是人們能想到的最簡單的周期函數(shù)之一。
正弦和余弦函數(shù)圖
余弦和正弦作為繞單位圓運動的點的坐標由這兩個函數(shù)組成的和可以表示任何數(shù)學函數(shù)，這一事實至少讓人瞠目結舌。
但是，傅里葉級數(shù)和傅里葉變換有什么區(qū)別？傅立葉級數(shù)和傅立葉變換的區(qū)別在于，傅立葉級數(shù)用于將周期函數(shù)分解為正弦和余弦之和，而傅立葉變換則用于非周期函數(shù)。
現(xiàn)在讓我們來看看這兩種方法分別是如何實現(xiàn)這一目的的。
傅立葉級數(shù)
正如我們所說，傅里葉級數(shù)用于周期函數(shù)。作為快速提示，如果以下條件成立，則稱函數(shù)f(t)為周期函數(shù)，基本周期為T：f(t-T)=ft=f(t+T)。簡單地說，這意味著函數(shù)以長度為T的固定間隔重復其值。
周期函數(shù)舉例
最后，我們將周期函數(shù)的基頻定義為1/T，即基頻周期的倒數(shù)。如果周期告訴我們函數(shù)重復的頻率，那么頻率則告訴我們每單位時間(或函數(shù)所依賴的任何其他單位)有多少次重復。
現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了定義傅立葉級數(shù)所需的一切。
傅里葉級數(shù)是正弦函數(shù)的無限加權和，每個正弦函數(shù)的頻率都是原始周期函數(shù)基頻的整數(shù)倍(1/T)。
傅立葉級數(shù)的公式如下：
周期函數(shù)g(t)的傅里葉級數(shù)展開
初看起來有點復雜，讓我們來分解一下。
①細分
我們從基本周期為T的周期函數(shù)g(t)開始。一個是余弦和，另一個是正弦和。這兩個和都是加權的，簡單地說，就是它們所包含的每個余弦和正弦都有一個系數(shù)。在我們的例子中，這些系數(shù)分別用符號αm和bn表示。下標字母m和n是和的計數(shù)變量。因此，當m變?yōu)?、2、3等時，每個余弦的系數(shù)就會從α1變?yōu)棣?，依此類推。
最后，在三角函數(shù)(余弦和正弦的另一個名稱)的內部，我們發(fā)現(xiàn)了自變量t(也是初始函數(shù)g(t)的自變量)、常數(shù)2π(由于與對稱性有關的原因而存在，但對本文并不重要)以及分母中的基本周期T。您可能已經(jīng)注意到，我們可以用基頻f代替上式中的比率1/T，以避免使用分數(shù)。
我們在三角函數(shù)中遇到的最后一個符號是每個和的計數(shù)變量，余弦為m，正弦為n。它的作用是使無限和中的每個余弦和正弦具有不同的頻率。不過，這些頻率并非任意頻率。它們是初始函數(shù)g(t)頻率的多個整數(shù)，即f=1/T。頻率以這種方式相關的正弦被稱為諧波相關。
計算系數(shù)αm和bn的公式如下。由于它們對于我們的理解沒有什么幫助，我們就不多說了。
傅立葉級數(shù)三角函數(shù)形式的系數(shù)
我們完成了！你現(xiàn)在知道如何將任何周期函數(shù)展開為余弦和正弦之和了。
傅立葉級數(shù)的替代形式(可選)
在開始學習傅里葉變換之前，大家還可了解另一種表示傅里葉級數(shù)的方法，但卻是等價的。具體如下：
傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式
雖然初看起來與我們上面討論的三角函數(shù)形式有很大不同，但實際上是等價的。我們所做的就是利用歐拉公式(它將余弦和正弦與復指數(shù)聯(lián)系起來)，以更簡潔的形式重寫傅里葉級數(shù)?，F(xiàn)在，我們只有一個和，而不是兩個和。
傅立葉變換
如果您已經(jīng)理解了有關傅里葉級數(shù)的所有內容，那么傅里葉變換就會變得非常簡單。這次我們關注的是非周期函數(shù)。傅立葉變換的公式如下：
傅立葉變換的重要性
傅立葉變換的結果是頻率的函數(shù)。請記住，希臘字母歐米茄“ω”用來表示角頻率，它是乘積2πf的別稱。當初始函數(shù)f(t)是一個時間函數(shù)時，傅里葉變換給出了該函數(shù)的頻率內容。摘自維基百科的一句話：時間函數(shù)的傅里葉變換是頻率的復值函數(shù)，其幅值(絕對值)代表原始函數(shù)中該頻率的量，其參數(shù)是該頻率中基本正弦波的相位偏移。傅里葉變換并不局限于時間函數(shù)，但原始函數(shù)的域通常被稱為時域。
我們可以利用反傅里葉變換找回初始函數(shù)：
傅里葉變換和傅里葉反變換
①細分
讓我們比較一下反傅里葉變換和傅里葉級數(shù)。
首先，我們使用復指數(shù)來表示正弦函數(shù)，而不是使用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)(這會導致兩個積分)，這樣會更加簡潔。積分前的系數(shù)1/2π是為了對稱的目的。
我們馬上會注意到的另一件重要事情是，我們現(xiàn)在有了一個積分，而不是離散的“西格瑪 ”和。請記住，積分本身也是和，唯一不同的是，在積分下求和的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數(shù)f(t)現(xiàn)在是非周期的，我們需要所有可能的頻率(從負無窮到正無窮)來表示它。在傅里葉級數(shù)的情況下，我們只使用T的整數(shù)倍。由于我們現(xiàn)在沒有基本周期T，我們不得不使用所有的T。
至于復指數(shù)的系數(shù)，我們可以得到該函數(shù)在每個可能頻率ω下的傅里葉變換值。正如您所看到的，從傅里葉級數(shù)的概念到反傅里葉變換的概念之間存在著明顯的一一對應關系。
結束語
正如泰勒級數(shù)將函數(shù)分解為單項式的無限加權和一樣，傅里葉級數(shù)和傅里葉變換幫助我們將周期函數(shù)表示為正弦波的加權和。正弦波是美妙的函數(shù)，在數(shù)學意義上很容易操作。如果我們知道一個系統(tǒng)(可以是帶彈簧的經(jīng)典系統(tǒng)，也可以是處理信號的系統(tǒng)或其他任何系統(tǒng))對正弦波輸入的響應，那么我們就可以利用上述思想將任何其他輸入表示為正弦波之和。這樣，分析的很大一部分就已經(jīng)完成了，數(shù)學也變得簡單多了。因此，傅里葉級數(shù)和傅里葉變換在電子工程、儀器儀表、物理學和生物學等所有科學領域都有大量應用。
相關閱讀
◆傅里葉級數(shù)的發(fā)現(xiàn)與應用
◆什么是模擬信號、數(shù)字信號、連續(xù)時間信號和離散時間信號
